全國高中數學聯賽模擬試題(九)
（命題人：葛軍）
第一試
一、選擇題：（每小題6分，共36分）
1、已知n、s是整數．若不論n是什么整數，方程x2-8nx+7s=0沒有整數解，則所有這樣的數s的集合是
（A）奇數集 （B）所有形如6k+1的數集
（C）偶數集 （D）所有形如4k+3的數集
2、某個貨場有1997輛車排隊等待裝貨，要求第一輛車必須裝9箱貨物，每相鄰的4輛車裝貨總數為34箱．為滿足上述要求，至少應該有貨物的箱數是
（A）16966 （B）16975 （C）16984 （D）17009
3、非常數數列{ai}滿足
，且
，i=0,1,2,…,n．對于給定的自然數n，a1=an+1=1，則
等于
（A）2 （B）-1 （C）1 （D）0
4、已知、是方程ax2+bx+c=0（a、b、c為實數）的兩根，且是虛數，
是實數，則
的值是
（A）1
（B）2 （C）0
（D）
i
5、已知a+b+c=abc，
，則A的值是
（A）3 （B）-3 （C）4 （D）-4
6、對xi∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n，有
，x1x2…xn=n！，使x1,x2,…,xn，一定是1,2,…,n的一個排列的最大數n是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）9
二、填空題：（每小題9分，共54分）
1、設點P是凸多邊形A1A2…An內一點，點P到直線A1A2的距離為h1，到直線A2A3的距離為h2，…，到直線An-1An的距離為hn-1，到直線AnA1的距離為hn．若存在點P使
（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n-1，an=AnA1）取得最小值，則此凸多邊形一定符合條件
．
2、已知a為自然數，存在一個以a為首項系數的二次整數系數的多項式，它有兩個小于1的不同正根．那么，a的最小值是 ．
3、已知
，a、∈R，a≠0．那么，對于任意的a、，F(a,)的最大值和最小值分別是
．
4、已知t＞0，關于x的方程為
，則這個方程有相異實根的個數情況是
．
5、已知集合{1,2,3,…,3n-1,3n}，可以分為n個互不相交的三元組{x,y,z}，其中x+y=3z，則滿足上述要求的兩個最小的正整數n是 ．
6、任給一個自然數k，一定存在整數n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，則這樣的有序實數對(n,k)是（對于給定的k） ．
三、（20分）
過正方體的某條對角線的截面面積為S，試求
之值．
四、（20分）
數列{an}定義如下：a1=3，an=
（n≥2）．試求an（n≥2）的末位數．
五、（20分）
已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1．
證明：
≤a2+b2+c2+4abc＜1．
第二試
一、（50分）
已知△ABC中，內心為I，外接圓為⊙O，點B關于⊙O的對徑點為K，在AB的延長線上取點N，CB的延長線上取M，使得MC=NA=s，s為△ABC的半周長．證明：IK⊥MN．
二、（50分）
M是平面上所有點(x,y)的集合，其中x、y均是整數，且1≤x≤12，1≤y≤13．證明：不少于49個點的M的每一個子集，必包含一個矩形的4個頂點，且此矩形的邊平行于坐標軸．
三、（50分）
實系數多項式f(x)=x3+ax2+bx+c滿足b＜0，ab=9c．試判別此多項式是否有三個不同的實根，說明理由．
參考答案
第一試
一、選擇題：
| 題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 答案 | C | B | D | C | C | C |
二、填空題：
1、該凸多邊形存在內切圓； 2、5；
3、
，
； 4、9；
5、5，8； 6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．
三、
．
四、7．
五、證略．
第二試
一、證略；
二、證略．
三、 有．