全國高中數學聯賽模擬試題(九)
(命題人:葛軍)
第一試
一、選擇題:(每小題6分,共36分)
1、已知n、s是整數.若不論n是什么整數,方程x2-8nx+7s=0沒有整數解,則所有這樣的數s的集合是
(A)奇數集 (B)所有形如6k+1的數集
(C)偶數集 (D)所有形如4k+3的數集
2、某個貨場有1997輛車排隊等待裝貨,要求第一輛車必須裝9箱貨物,每相鄰的4輛車裝貨總數為34箱.為滿足上述要求,至少應該有貨物的箱數是
(A)16966 (B)16975 (C)16984 (D)17009
3、非常數數列{ai}滿足,且
,i=0,1,2,…,n.對于給定的自然數n,a1=an+1=1,則
等于
(A)2 (B)-1 (C)1 (D)0
4、已知、是方程ax2+bx+c=0(a、b、c為實數)的兩根,且是虛數,是實數,則
的值是
(A)1
(B)2 (C)0
(D)i
5、已知a+b+c=abc,,則A的值是
(A)3 (B)-3 (C)4 (D)-4
6、對xi∈{1,2,…,n},i=1,2,…,n,有,x1x2…xn=n!,使x1,x2,…,xn,一定是1,2,…,n的一個排列的最大數n是
(A)4 (B)6 (C)8 (D)9
二、填空題:(每小題9分,共54分)
1、設點P是凸多邊形A1A2…An內一點,點P到直線A1A2的距離為h1,到直線A2A3的距離為h2,…,到直線An-1An的距離為hn-1,到直線AnA1的距離為hn.若存在點P使(ai=AiAi+1,i=1,2,…,n-1,an=AnA1)取得最小值,則此凸多邊形一定符合條件
.
2、已知a為自然數,存在一個以a為首項系數的二次整數系數的多項式,它有兩個小于1的不同正根.那么,a的最小值是 .
3、已知,a、∈R,a≠0.那么,對于任意的a、,F(a,)的最大值和最小值分別是
.
4、已知t>0,關于x的方程為,則這個方程有相異實根的個數情況是
.
5、已知集合{1,2,3,…,3n-1,3n},可以分為n個互不相交的三元組{x,y,z},其中x+y=3z,則滿足上述要求的兩個最小的正整數n是 .
6、任給一個自然數k,一定存在整數n,使得xn+x+1被xk+x+1整除,則這樣的有序實數對(n,k)是(對于給定的k) .
三、(20分)
過正方體的某條對角線的截面面積為S,試求之值.
四、(20分)
數列{an}定義如下:a1=3,an=(n≥2).試求an(n≥2)的末位數.
五、(20分)
已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.
證明:≤a2+b2+c2+4abc<1.
第二試
一、(50分)
已知△ABC中,內心為I,外接圓為⊙O,點B關于⊙O的對徑點為K,在AB的延長線上取點N,CB的延長線上取M,使得MC=NA=s,s為△ABC的半周長.證明:IK⊥MN.
二、(50分)
M是平面上所有點(x,y)的集合,其中x、y均是整數,且1≤x≤12,1≤y≤13.證明:不少于49個點的M的每一個子集,必包含一個矩形的4個頂點,且此矩形的邊平行于坐標軸.
三、(50分)
實系數多項式f(x)=x3+ax2+bx+c滿足b<0,ab=9c.試判別此多項式是否有三個不同的實根,說明理由.
參考答案
第一試
一、選擇題:
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
答案 | C | B | D | C | C | C |
二、填空題:
1、該凸多邊形存在內切圓; 2、5;
3、,
; 4、9;
5、5,8; 6、(k,k)或(3m+2,2)(m∈N+).
三、.
四、7.
五、證略.
第二試
一、證略;
二、證略.
三、 有.