全國高中數學聯賽模擬試題(一)
（命題人：吳偉朝）
第一試
一、 選擇題：（每小題6分，共36分）
1、 方程6×(5a2＋b2)＝5c2滿足c≤20的正整數解(a,b,c)的個數是
（A）1 （B）3 （C）4 （D）5
2、 函數
（x∈R，x≠1）的遞增區間是
（A）x≥2 （B）x≤0或x≥2
（C）x≤0 （D）x≤
或x≥
3、 過定點P(2,1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于A、B，使△AOB（O為原點）的面積最小，則l的方程為
（A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0
（C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0
4、 若方程cos2x＋
sin2x＝a＋1在
上有兩個不同的實數解x，則參數a的取值范圍是
（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1
（C）a＜1 （D）0＜a＜1
5、 數列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項是
（A）42 （B）45 （C）48 （D）51
6、 在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，滿足條件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的個數是
（A）8 （B）10 （C）14 （D）16
二、 填空題：（每小題9分，共54分）
1、[x]表示不大于x的最大整數，則方程
×[x2＋x]＝19x＋99的實數解x是
．
2、設a1＝1，an+1＝2an＋n2，則通項公式an＝ ．
3、數799被2550除所得的余數是 ．
4、在△ABC中，∠A＝
，sinB＝
，則cosC＝
．
5、設k、是實數，使得關于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的兩個根為sin和cos，則的取值范圍是 ．
6、數
（n∈N）的個位數字是
．
三、 （20分）
已知x、y、z都是非負實數，且x＋y＋z＝1．
求證：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并確定等號成立的條件．
四、 （20分）
（1） 求出所有的實數a，使得關于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的兩根皆為整數．
（2） 試求出所有的實數a，使得關于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三個整數根．
五、 （20分）
試求正數r的最大值，使得點集T＝{(x,y)x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一個點集S＝{(x,y)x、y∈R，且對任何∈R，都有cos2＋xcos＋y≥0}之中．
第二試
一、（50分）
設a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是復數，且z2－(a－c)z－b＝0．
求證：
的充分必要條件是(a－c)2＋4b≤0．
二、（50分）
如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是銳角，D是BC邊上的內點，且AD平分∠BAC，過點D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ，其垂足是P、Q，兩條直線CP與BQ相交與點K．求證：
（1） AK⊥BC；
（2） 
，其中
表示△ABC的面積．
三、（50分）
給定一個正整數n，設n個實數a1,a2,…,an滿足下列n個方程：
．
確定和式
的值（寫成關于n的最簡式子）．
參考答案
第一試
一、選擇題：
| 題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 答案 | C | C | D | A | B | D |
二、填空題：
1、
或
； 2、7×2n-1－n2－2n－3；
3、343； 4、
；
5、{＝2n＋或2n－
，n∈Z} ；6、1（n為偶數）；7（n為奇數）．
三、證略，等號成立的條件是
或
或
或
．
四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．
五、rmax＝
．
第二試
一、證略（提示：直接解出
，通過變形即得充分性成立，然后利用反證法證明必要性）．
二、證略（提示：用同一法，作出BC邊上的高AR，利用塞瓦定理證明AR、BQ、CP三線共點，從而AK⊥BC；記AR與PQ交于點T，則
＝AR＞AT＞AQ＝AP，對于AK＜AP，可證∠APK＜∠AKP）．
三、
．