全國高中數學聯賽模擬試題(一)
(命題人:吳偉朝)
第一試
一、 選擇題:(每小題6分,共36分)
1、 方程6×(5a2+b2)=5c2滿足c≤20的正整數解(a,b,c)的個數是
(A)1 (B)3 (C)4 (D)5
2、 函數(x∈R,x≠1)的遞增區間是
(A)x≥2 (B)x≤0或x≥2
(C)x≤0 (D)x≤或x≥
3、 過定點P(2,1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于A、B,使△AOB(O為原點)的面積最小,則l的方程為
(A)x+y-3=0 (B)x+3y-5=0
(C)2x+y-5=0 (D)x+2y-4=0
4、 若方程cos2x+sin2x=a+1在
上有兩個不同的實數解x,則參數a的取值范圍是
(A)0≤a<1 (B)-3≤a<1
(C)a<1 (D)0<a<1
5、 數列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項是
(A)42 (B)45 (C)48 (D)51
6、 在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中,滿足條件a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4>a5的排列的個數是
(A)8 (B)10 (C)14 (D)16
二、 填空題:(每小題9分,共54分)
1、[x]表示不大于x的最大整數,則方程×[x2+x]=19x+99的實數解x是
.
2、設a1=1,an+1=2an+n2,則通項公式an= .
3、數799被2550除所得的余數是 .
4、在△ABC中,∠A=,sinB=
,則cosC=
.
5、設k、是實數,使得關于x的方程x2-(2k+1)x+k2-1=0的兩個根為sin和cos,則的取值范圍是 .
6、數(n∈N)的個位數字是
.
三、 (20分)
已知x、y、z都是非負實數,且x+y+z=1.
求證:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0,并確定等號成立的條件.
四、 (20分)
(1) 求出所有的實數a,使得關于x的方程x2+(a+2002)x+a=0的兩根皆為整數.
(2) 試求出所有的實數a,使得關于x的方程x3+(-a2+2a+2)x-2a2-2a=0有三個整數根.
五、 (20分)
試求正數r的最大值,使得點集T={(x,y)x、y∈R,且x2+(y-7)2≤r2}一定被包含于另一個點集S={(x,y)x、y∈R,且對任何∈R,都有cos2+xcos+y≥0}之中.
第二試
一、(50分)
設a、b、c∈R,b≠ac,a≠-c,z是復數,且z2-(a-c)z-b=0.
求證:的充分必要條件是(a-c)2+4b≤0.
二、(50分)
如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB均是銳角,D是BC邊上的內點,且AD平分∠BAC,過點D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ,其垂足是P、Q,兩條直線CP與BQ相交與點K.求證:
(1) AK⊥BC;
(2) ,其中
表示△ABC的面積.
三、(50分)
給定一個正整數n,設n個實數a1,a2,…,an滿足下列n個方程:
.
確定和式的值(寫成關于n的最簡式子).
參考答案
第一試
一、選擇題:
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
答案 | C | C | D | A | B | D |
二、填空題:
1、或
; 2、7×2n-1-n2-2n-3;
3、343; 4、;
5、{=2n+或2n-,n∈Z} ;6、1(n為偶數);7(n為奇數).
三、證略,等號成立的條件是或
或
或
.
四、(1)a的可能取值有0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040;(2)a的可能取值有-3,11,-1,9.
五、rmax=.
第二試
一、證略(提示:直接解出,通過變形即得充分性成立,然后利用反證法證明必要性).
二、證略(提示:用同一法,作出BC邊上的高AR,利用塞瓦定理證明AR、BQ、CP三線共點,從而AK⊥BC;記AR與PQ交于點T,則=AR>AT>AQ=AP,對于AK<AP,可證∠APK<∠AKP).
三、.